La matemática como herramienta para resolver problemas comunes a diversas disciplinas
Patricia Morillas dirige el proyecto de investigación de la FCFMyN, denominado Álgebra Lineal y Análisis Matricial. Junto a un grupo de expertos nacionales e internacionales buscan soluciones teóricas a problemas que pueden acontecer en la medicina, en las ingenierías y en otras ciencias.
Patricia es doctora en matemática e investigadora adjunta de CONICET. Desde hace muchos años desarrolla su trabajo investigativo en el Instituto de Matemática Aplicada, IMASL, de doble dependencia UNSL-CONICET. “La matemática como disciplina científica es el lenguaje en el que está escrito la ciencia” enfatiza Patricia y adelanta que con su equipo, buscan respuestas a problemas que se pueden presentar en áreas como procesamiento de imágenes médicas, de datos meteorológicos y satelitales, entre otros.
En esta entrevista, la investigadora nos detalla qué temas trabajan y qué conocimientos y aportes generan desde este proyecto. “En este proyecto se desarrollan distintos tópicos de Álgebra Lineal y Análisis Matricial, especialmente en Teoría de Marcos y Teoría de Matrices de Distancia. Los temas que se estudian están motivados en cuestiones que aparecen en las aplicaciones en ciencias e ingeniería, donde se tienen que procesar datos”.
¿Por ejemplo, qué tipo de datos?
Los datos surgen en general de tomar mediciones de parámetros físicos. Puede tratarse de distancia, volumen, peso, presión, voltaje, entre otros.
¿De qué trata la Teoría de Marcos?
Un marco para un espacio vectorial es una familia de vectores que permite representaciones estables y no necesariamente únicas de los elementos del espacio, posibilitando elegir la representación más adecuada. Son robustos frente a la presencia de diferentes tipos de errores y a borrados, y dan mayor flexibilidad al momento de construirlos de modo tal que tengan determinadas propiedades.
Una de las aplicaciones más importantes que tienen los marcos es en el procesamiento de señales. Una señal es un tipo de dato que se representa como un vector y corresponde a medidas de parámetros físicos que puede ser de naturaleza eléctrica, acústica, magnética, mecánica, óptica, etc. En el procesamiento de estas señales, primero se toman medidas de los parámetros físicos y luego esas medidas se transmiten. En este proceso pueden aparecer errores en los datos o algunos de ellos se pueden perder. En otros casos, sólo se conocen los valores absolutos de las medidas. Se hace necesario entonces que el receptor pueda reconstruir la señal lo mejor posible. Los marcos resultan adecuados para estas situaciones.
También puede suceder que se deba procesar una gran cantidad de datos. Una forma de abordar esto es procesarlos en forma distribuida, es decir, dividiendo la información, transmitiendo cada parte y luego juntando/fusionando lo obtenido. Eso dio origen a los marcos de fusión que son familias de subespacios y pesos. Los marcos y los marcos de fusión son útiles en áreas tales como procesamiento de imágenes médicas, de datos meteorológicos y satelitales, en teoría de códigos, entre otras.
Ejemplos de marcos ajustados:
El otro tema que mencionó son las Matrices de Distancia. ¿Qué son y qué aplicaciones tienen?
En algunas aplicaciones sólo se pueden determinar las distancias entre los objetos y luego se requiere con esa información saber cómo se encuentran ubicados. Una situación de este tipo se da en química cuando se busca conocer la forma de una molécula basándose en las distancias entre los átomos. Para poder realizar esto con herramientas del álgebra lineal se utilizan las matrices de distancia. Una matriz de distancia tiene como entradas las distancias al cuadrado entre los puntos. A partir de propiedades de esta matriz se pueden conocer características del conjunto de puntos.
Además del estudio de conformaciones moleculares, las matrices de distancia se utilizan, por ejemplo, en la localización de sensores y en la calibración de tomografías de ultrasonido.
¿Qué problemas específicos se estudian en el proyecto?
Los problemas que se estudian surgen de aplicaciones concretas o bien surgen como desarrollos teóricos.
Se aborda el estudio de matrices de distancia particulares, como matrices celda y matrices elípticas. También propiedades geométricas de espacios de matrices de distancia. Se estudian distintos tipos de marcos y marcos de fusión, dualidad, reconstrucción óptima en presencia de borrados y errores, y reconstrucción aproximada. También se estudia la relación entre ciertos marcos y los diseños t-esféricos que aparecen en combinatoria.
¿Cómo está integrado el proyecto?
Además de docentes de la Universidad Nacional de San Luis, el proyecto tiene integrantes que son docentes de la Universidad de San Andrés, de la Universidad Nacional del Nordeste, de la Universidad Nacional de San Juan e investigadores de CONICET. Se trabaja también con matemáticos de Austria y Estados Unidos.
Participan alumnos de posgrado de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas y Naturales de la Universidad Nacional de San Luis. Durante el desarrollo del proyecto se han dirigido tesis de postgrado y trabajos finales de grado en matemática.
Nota: Unidad de Cultura Científica más Innovación (UCC+i) | FCFMyN
